Ángulo y círculo trigonométrico

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#003366" TEXT="#F7F7FF"> <div> P r e c á l c u l o 21 | <FONT SIZE="3" COLOR="#00FFCC" FACE="Bell MT" ><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Precálculo21"><U>Página principal</U></A> </FONT> |  <FONT SIZE="3" COLOR="#00FFCC" FACE="Bell MT" ><A HREF="id418.htm" TARGET="_top" TITLE="_"><U>Contenido</U></A>  </FONT>|  <A HREF="id464.htm" TARGET="_top" TITLE="Apuntes"><U>Apuntes</U></A>  |  <A HREF="id19.htm" TARGET="_top" TITLE=" Trigonometría"><U>Trigonometría </U></A> |</div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-6266400581769473" data-ad-slot="5543838917"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B>Ángulo y círculo trigonométrico</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:728px;height:90px" data-ad-client="ca-pub-6266400581769473" data-ad-slot="9294650114"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div> <B> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 488 WIDTH="349"><div>   <A NAME="ángulo_trigonométrico"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Ángulo trigonométrico:</B></FONT>      </div> <div>  Supongamos el rayo <B>0A</B> fijo y el rayo <B>0B</B> móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar <B>0B</B> alrededor de <B>0</B>. En cada posición de giro, <B>0B</B> determina un ángulo con <B>0A</B>: el ángulo <B>A0B</B>. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >Fig.1</FONT>), el ángulo <B>A0B</B> es positivo y el ángulo <B>A0B'</B> es negativo. </div> <div> Antes de iniciar el giro, los rayos <B>0A</B> y <B>0B</B> coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar <B>0B</B>, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir <B>0B</B> con <B>0A</B> se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. <B>0B</B> puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que <B>0A</B> y <B>0B</B> son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.</div> <bR> <div> <B> <A NAME="unidad_de_medida_de_los_ángulos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Unidad de medida de los ángulos</B><B>:</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes. </FONT></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <B><IMG SRC="f83fac80.gif" border=0 width="250" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> (Fig.1)</div> <bR> <div> <IMG SRC="f84fac80.gif" border=0 width="250" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (Fig.2)</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 161 WIDTH="604"><div> En el <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" ><B>sistema sexagesimal</B></FONT><B> </B>se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de 1/360 parte de una vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son:</div> <div> grado      °</div> <div> minuto     '</div> <div>       segundo  ''</div> </tD> </tR> </TABLE></B></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B> <A NAME="radián_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Radián: </B></FONT>un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferncia. En la <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >(Fig.2)</FONT>,<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" > </FONT>la longitud del radio <B>r</B> es igual a la del arco <B>AB</B>; el ángulo <B>A0B</B> mide 1<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >p </FONT>radianes.</div> <bR> <div> En el <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" ><B>sistema circular </B></FONT>se utiliza como unidad de medida el "radián". </div> <div> En el <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" >sistema centesimal</FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#00CCFF" FACE="Times New Roman" > </FONT>se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".</div> <div> <B> </B></div> <div> <B> <A NAME="equivalencia_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa</B><B>.</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro. </FONT></div> <div> <IMG SRC="f85173b0.gif" border=0 width="535" height="315" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 158 WIDTH="396"><div> <B> <A NAME="ángulo_en_posición_normal_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Ángulo en posición normal</B><B>:</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > </FONT></div> <div> Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes).</div> <div> En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo <B>A0B</B>.</div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="f86c9940.gif" border=0 width="201" height="148" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B> <A NAME="círculo_trigonométrico"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Círculo trigonométrico:</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > </FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="603" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 207 WIDTH="296"><div> Se llama círculo trigonométrico, o goniométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.</div> <div> A la derecha se puede observar un círculo trigonométrico.</div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="f87e1c80.gif" border=0 width="225" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="623" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#00CCCC HEIGHT= 60 WIDTH="603"><div> <B> <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Ejercicios resueltos</B></div> <div> <B>          E</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >n el ejercicio </FONT>1<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >, calcule la medida equivalente en radianes; en el </FONT>2<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >, calcule la medida equivalente en grados sexagesimales.</FONT></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 HEIGHT= 28 ><NOBR><div> <A HREF="#1" TITLE="Ángulo y círculo trigonométrico"><U><IMG SRC="f891c150.gif" border=0 width="540" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 HEIGHT= 87 ><NOBR><div> <A HREF="#2" TITLE="Ángulo y círculo trigonométrico"><U><IMG SRC="f8a1f500.gif" border=0 width="543" height="80" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>S o l u c i o n e s</B></div> <bR> <div> <B> <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B><IMG SRC="f8855170.gif" border=0 width="85" height="23" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="f8b30b80.gif" border=0 width="560" height="440" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div> <B> <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B><IMG SRC="f8c57170.gif" border=0 width="87" height="23" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="f8d05500.gif" border=0 width="517" height="592" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <bR> </td> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <bR> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ángulo trigonométrico</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Unidad de medida de los ángulos</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Radián</div> <div> <A HREF="id439_m.htm#equivalencia_" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ángulo y círculo trigonométrico"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Equivalencia de medidas</U></A></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ángulo en posición normal</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Círculo trigonométrico</div> </td> </tr></table></body>